Сума трьох натуральних кубів

Сума трьох натуральних кубів a³ + b³ + c³

Які властивості у  четвірки  натуральних чисел (a, b, c, d) , таких, що a³ + b³ + c³ =d³?

Скінченною чи нескінченною є множина натуральних четвірок за умови, що жодна четвірка цієї множини не утворюється з іншої множенням усіх її чисел на одне і те ж число?

Математичне дослідження 1.

Розглянемо  натуральні  четвірки вигляду (n; n+1; n+2; n+3),  де n - натуральне число, що задовольняють рівність a³ + b³ + c³ =d³.

Отримаємо рівняння: n³ + (n+1)³ + (n+2)³ = (n+3)³, у якого існує натуральний  корінь: n= 3.

Отже, легко впевнитися, що дану рівність задовольняють шість четвірок вигляду: 

(3k; 4k; 5k; 6k),    де k - натуральне число;

(3k; 5k; 4k; 6k),    де k - натуральне число;

(5k; 4k; 3k; 6k),    де k - натуральне число;

(5k; 3k; 4k; 6k),    де k - натуральне число;

(4k; 5k; 3k; 6k),    де k - натуральне число;

(4k; 3k; 5k; 6k),    де k - натуральне число.

Висновок.  Дане рівняння задовольняють  четвірки, які утворені із чотирьох  арифметчних прогресій заданих формулами:  3k; 4k; 5k; 6k, де k - натуральне число.

Математичне дослідження 2.

Легко і просто довести тотожність для суми трьох кубів:

а³ + b³ + c³ = 3abc + (a+b+c)(a² + b² +c² –аb–bc–ac);

Таким чином, на множині дійсних чисел це рівняння має безліч четвірок, що його задовольняють і вони записуються так:

 (a; b; c; (3abc + (a+b+c)(a² + b² +c² –аb–bc–ac)^(1/3)),

де а, b, c – довільні дійсні числа.     

Скінченною чи нескінченною є множина натуральних четвірок за умови, що жодна четвірка цієї множини не утворюється з іншої множенням усіх її чисел на одне і те ж число?

 Рівність x³ + y³ + z³ =d³ задає деяку поверхню в тривимірній системі координат на множині дійсних чисел. Ця поверхня є замкненою, тобто вона не вийде за межі деякого тривимірного куба. У цьому кубі наведемо цілочисельну сітку. Ця замкнена поверхня може перетнути у внутрішній частині куба

тільки скінчену кількість цілочисельних вузлів( ці вузли можуть мати усі три натуральні координати (x; y; z).

Висновок.  Для конкретного натурального  значення d,  дана  рівність a³ + b³ + c³ =d³  виконується для обмеженого числа четвірок.

Математичне дослідження 3.

Рівність (x-a)³ + (y-b)³ + (z-c)³ =d³ задає деяку замкнену поверхню в тривимірній системі координат на множині дійсних чисел. По суті виконали паралельне перенесення х’= x-a; y’= y-b; z’= z-c в напрямі деякого вектора. Отже, для довільного натурального числа d існує таке паралельне перенесення замкненої поверхні  x³ + y³ + z³ =d³, що   ця поверхня буде перетинати обмежену кількість додатних цілочисельних вузлів.

Висновок.  Для довільного натурального  значення d,  починаючи з 6,  дана  рівність a³ + b³ + c³ =d³  має безліч  натуральних  четвірок.

Завдання.

1.Самостійно проведіть узагальнення розв'язків  рівняння a³ + b³ + c³ =d³  на множину цілих чисел.

2.Складіть програмне забезпечення до цієї задачі засобами мови Паскаль, засобами електронних таблиць.