ЦІКАВА ЗАДАЧА НА ДОСЛІДЖЕННЯ

http://artofproblemsolving.com/community/c6h1106919

Завдання на мінімум без похідної

Нехай a, b, c додатні дійсні числа такі, що

a+b+c=1;  k, m, n - натуральні числа.

Знайти мінімальні значення виразів:

1)A = (2 – a³)/a  + (2 – b³)/b  +(2 – c³)/c   

2)D = (2018 – a^k)/a^m  + (2018 – b^m)/bⁿ  +(2018 – cⁿ)/c^k   

Розв’язання. Відомо,  що a≥0,  b≥0,  c≥0,    a+b+c=1.  

Тоді  0<a≤1,  0<b≤1, 0<c≤1,  тоді

0<ab≤1, 

0<bc≤1,

0<ac≤1.

0<аb + bc +ac≤3.

0<a²≤1,    0<a³≤1,  …,  0<aⁿ≤1,  0< b^kaⁿ≤1,   

0<b²≤1,    0<b³≤1, …,  0<bⁿ≤1,   0< b^kcⁿ≤1,    

0<c²≤1,    0<c³≤1,  …,  0<cⁿ≤1,   0< a^kcⁿ ≤1,  

0≤ a^kbⁿc^m≤1,     1< 1/a^kbⁿc^m <+oo,  

1≤ 1/a <+oo,     1< 1/a^k <+oo,  

1≤ 1/b<+oo,      1< 1/b^k<+oo,     

1≤ 1/c <+oo,      1< 1/c^k <+oo,    

0<а² + b²+c²≤3.       0<аb + bc +ac ≤ а² + b²+c² ≤ 3

0<а³ + b³+c³≤3.       0<а²b + b²c +ac² ≤ а³ + b³+c³ ≤ 3

Нерівність 0<a^k≤1 помножимо на -1. Тоді

 -1≤ - a³<0.

До нерівності  -1≤- a³<0 додамо 2. Тоді

 2-1≤2- a³<0+2,  1 ≤ 2- a³< 2, 

Перемножимо почленно дві додатні нерівності:

 1≤1/a <+oo,   та  1 ≤ 2- a³< 2, 

Отримаємо: 1≤ (2 – a³)/a<+oo.

Аналогічно,  нерівність 0<b³≤1 помножимо на -1. Тоді

 -1≤ - b³<0.

До нерівності  -1≤- b³<0 додамо 2. Тоді

2-1≤2- b³<0+2,  1 ≤ 2- b³< 2, 

Перемножимо почленно дві додатні нерівності:

 1≤1/b <+oo,   та  1 ≤ 2- b³< 2, 

Отримаємо: 1≤ (2 – b³)/b<+oo.

Аналогічно,  нерівність 0<c³≤1 помножимо на -1. Тоді

  -1≤ - c³<0.

До нерівності  -1≤- c³<0 додамо 2. Тоді

2-1≤2- c³<0+2,  1 ≤ 2- c³< 2, 

Перемножимо почленно дві додатні нерівності:

 1≤1/c <+oo,   та  1 ≤ 2- c³< 2, 

Отримаємо: 1≤ (2 – c³)/c<+oo.

Додамо почленно три подвійні нерівності:

1≤ (2 – a³)/a<+oo.

1≤ (2 – b³)/b<+oo.

1≤ (2 – c³)/c<+oo.

Отримаємо:

  3≤ (2 – a³)/a  + (2 – b³)/b  +(2 – c³)/c <+oo.

   

 Найменше значення виразу досягається при а=1, b=1, b=1.

min A =(2 – 1³)/1  + (2 – 1³)/1  +(2 – 1³)/1 =1+1+1=3

Нерівність 0<a^k≤1 помножимо на -1. Тоді

 -1≤ - a^k<0.

До нерівності  -1≤- a^k<0 додамо 2018. Тоді

 2018-1≤2018- a^k<0+2018,  2017 ≤ 2018- a^k< 2018, 

Перемножимо почленно дві додатні нерівності:

 1≤1/a^m <+oo,   та  2017 ≤ 2018- a^k< 2018, 

Отримаємо: 2017≤ (2018- a^k)/a^m<+oo.

Аналогічно,  нерівність 0<b^m≤1 помножимо на -1. Тоді

 -1≤ - b^m<0.

До нерівності  -1≤- b^m<0 додамо 2018. Тоді

 2018-1≤2018- b^m<0+2018,  2017 ≤ 2018- b^m< 2018, 

Перемножимо почленно дві додатні нерівності:

 1≤1/bⁿ <+oo,   та  2017 ≤ 2018- b^m< 2018, 

Отримаємо: 2017≤ (2018- b^k)/bⁿ<+oo.

Аналогічно,  нерівність 0<cⁿ≤1 помножимо на -1. Тоді

 -1≤ - cⁿ<0.

До нерівності  -1≤- cⁿ<0 додамо 2018. Тоді

 2018-1≤2018- cⁿ<0+2018,  2017 ≤ 2018- cⁿ< 2018, 

Перемножимо почленно дві додатні нерівності:

 1≤1/c^k <+oo,   та  2017 ≤ 2018- cⁿ< 2018, 

Отримаємо: 2017≤ (2018- cⁿ)/c^k<+oo.

Додамо почленно три подвійні нерівності:

2017≤ (2018- a^k)/a^m<+oo.

2017≤ (2018- b^k)/bⁿ<+oo.

2017≤ (2018- cⁿ)/c^k<+oo.

Отримаємо:

  6051≤ (2018 – a^k)/a^m + (2018 – b^m)/bⁿ +(2018 – cⁿ)/c^k <+oo.

   

 Найменше значення виразу досягається при а=1, b=1, b=1.

min D =(2018 – 1^k)/1^m + (2018 – 1^m)/1ⁿ +(2018 – 1ⁿ)/1^k =2017+2017+2017=6051

 

Завдання 3 із ЗНО-2015

                    

Завдання № 3 із ЗНО-2015

Дослідіть, яких значень для натуральних чисел а, b, c може набувати вираз:

N(a, b,c)=НСД(а²; b²)+ НСД(а ; bc)+ НСД(b; ac)+ НСД(c; ab).

( Тут НСД(х;у) означає найбільший спільний дільник  для чисел х та у).

Дослідження: Спочатку позначимо три числа: 

НСД(а; b)=k_ab,   НСД(а; c)=k_ac, НСД(b; c)=k_bc.

Використаємо відому властивість:

 НСД(x; yz)= НСД(x; y),  якщо НСД(х; z)=1.

Враховуючи, що існує три набори (а; b), (а; c), (c; b) і ці пари натуральних числа  можуть бути або взаємно простими, або не взаємно простими, розглянемо вісім випадків:

1) Якщо НСД(а; b)=1;   НСД(а; c)=1; НСД(c; b)=1, тоді

N(a, b,c)=НСД(а²; b²)+ НСД(а ; bc)+ НСД(b; ac)+ НСД(c; ab) = 1+1+1+1=4 – це мінімум функції.

2) Якщо НСД(а; b)>1;   НСД(а; c)=1; НСД(c; b)=1, тоді

N(a, b,c)=НСД(а²; b²)+ НСД(а ; bc)+ НСД(b; ac)+ НСД(c; ab) = (k_ab)²+ k_ab +1+1=(k_ab)²+ k_ab +2;

3) Якщо НСД(а; b)=1;   НСД(а; c)>1; НСД(c; b)=1, тоді

N(a, b,c)=НСД(а²; b²)+ НСД(а ; bc)+ НСД(b; ac)+ НСД(c; ab) = 1+ k_ac +1+ k_ac = 2k_ac +2;

4) Якщо НСД(а; b)=1;   НСД(а; c)=1; НСД(c; b)>1, тоді

N(a, b,c)=НСД(а²; b²)+ НСД(а ; bc)+ НСД(b; ac)+ НСД(c; ab) = 2k_bc +2;

5) Якщо НСД(а; b)=1;   НСД(а; c)>1; НСД(c; b)>1, тоді

N(a, b,c)=НСД(а²; b²)+ НСД(а ; bc)+ НСД(b; ac)+ НСД(c; ab) = 1+k_ac + k_cb + k_ack_cb;

6) Якщо НСД(а; b)>1;   НСД(а; c)>1; НСД(c; b)=1, тоді

N(a, b,c)=НСД(а²; b²)+ НСД(а ; bc)+ НСД(b; ac)+ НСД(c; ab) = = (k_ab)²+k_ack_ab+k_ab+k_ac;

7) Якщо НСД(а; b)>1;   НСД(а; c)=1; НСД(c; b)>1, тоді

N(a, b,c)=НСД(а²; b²)+ НСД(а ; bc)+ НСД(b; ac)+ НСД(c; ab) = (k_ab)²+ k_ab+k_cb×k_ac+k_bc;

8) Якщо НСД(а; b)>1;   НСД(а; c)>1; НСД(c; b)>1,  тоді

N(a, b,c)=НСД(а²; b²)+ НСД(а; bc)+ НСД(b; ac)+ НСД(c; ab) = (k_ab)²+ k_ab×k_ac + k_ab×k_bc + k_ac×k_bc