субота, 28 жовтня 2017 р.

Сума трьох натуральних кубів

Сума трьох натуральних кубів a3 + b3 + c3

Які властивості у  четвірки  натуральних чисел (a, b, c, d) , таких, що a3 + b3 + c3 =d3?
Скінченною чи нескінченною є множина натуральних четвірок за умови, що жодна четвірка цієї множини не утворюється з іншої множенням усіх її чисел на одне і те ж число?

Математичне дослідження 1.
Розглянемо  натуральні  четвірки вигляду (n; n+1; n+2; n+3),  де n - натуральне число, що задовольняють рівність a3 + b3 + c3 =d3.
Отримаємо рівняння: n3 + (n+1)3 + (n+2)3 = (n+3)3, у якого існує натуральний  корінь: n= 3.
Отже, легко впевнитися, що дану рівність задовольняють шість четвірок вигляду: 
(3k; 4k; 5k; 6k),    де k - натуральне число;
(3k; 5k; 4k; 6k),    де k - натуральне число;
(5k; 4k; 3k; 6k),    де k - натуральне число;
(5k; 3k; 4k; 6k),    де k - натуральне число;
(4k; 5k; 3k; 6k),    де k - натуральне число;
(4k; 3k; 5k; 6k),    де k - натуральне число.
Висновок.  Дане рівняння задовольняють  четвірки, які утворені із чотирьох  арифметчних прогресій заданих формулами:  3k; 4k; 5k; 6k, де k - натуральне число.
Математичне дослідження 2.
Легко і просто довести тотожність для суми трьох кубів:
а3 + b3 + c3 = 3abc + (a+b+c)(a2 + b2 +c2 –аb–bc–ac);
Таким чином, на множині дійсних чисел це рівняння має безліч четвірок, що його задовольняють і вони записуються так:
 (a; b; c; (3abc + (a+b+c)(a2 + b2 +c2 –аb–bc–ac)^(1/3)),
де а, b, c – довільні дійсні числа.     
Скінченною чи нескінченною є множина натуральних четвірок за умови, що жодна четвірка цієї множини не утворюється з іншої множенням усіх її чисел на одне і те ж число?
 Рівність x3 + y3 + z3 =d3 задає деяку поверхню в тривимірній системі координат на множині дійсних чисел. Ця поверхня є замкненою, тобто вона не вийде за межі деякого тривимірного куба. У цьому кубі наведемо цілочисельну сітку. Ця замкнена поверхня може перетнути у внутрішній частині куба
тільки скінчену кількість цілочисельних вузлів( ці вузли можуть мати усі три натуральні координати (x; y; z).
Висновок.  Для конкретного натурального  значення d,  дана  рівність a3 + b3 + c3 =d3  виконується для обмеженого числа четвірок.

Математичне дослідження 3.

Рівність (x-a)3 + (y-b)3 + (z-c)3 =d3 задає деяку замкнену поверхню в тривимірній системі координат на множині дійсних чисел. По суті виконали паралельне перенесення х’= x-a; y’= y-b; z’= z-c в напрямі деякого вектора. Отже, для довільного натурального числа d існує таке паралельне перенесення замкненої поверхні  x3 + y3 + z3 =d3, що   ця поверхня буде перетинати обмежену кількість додатних цілочисельних вузлів.
Висновок.  Для довільного натурального  значення d,  починаючи з 6,  дана  рівність a3 + b3 + c3 =d3  має безліч  натуральних  четвірок.

Завдання.
1.Самостійно проведіть узагальнення розв'язків  рівняння a3 + b3 + c3 =d3  на множину цілих чисел.
2.Складіть програмне забезпечення до цієї задачі засобами мови Паскаль, засобами електронних таблиць.




Опубліковано о Немає коментарів:

понеділок, 23 жовтня 2017 р.

Суми декількох взаємно простих різних доданків


Математична проблема:
А чи можна записувати натуральні числа, починаючи з 5 ( або з 5n+101), як суму декількох взаємно простих  різних доданків?
Математичне дослідження.
Спочатку скористаємося таблицею для ДОДАВАННЯ ДВОХ ВЗАЄМНО ПРОСТИХ цілих ВИРАЗІВ:
M=p+q
mod(p;q)=1
N+2
N+3
N+5
N+7
N+11
N+2
2N+4=
=(2k+1)+(2k+3)
2N+5
2N+7
2N+9
2N+13
N+3
2N+5
2N+6=
=(2k+1)+(2k+5)
2N+8
2N+10
2N+14
N+5
2N+7
2N+8
2N+10=
=(2k+3)+(2k+7)
2N+12
2N+16
N+7
2N+9
2N+10
2N+12
2N+14=
=(2k+11)+(2k+3)
2N+18
N+11
2N+13
2N+14
2N+16
2N+18
2N+22=
=(2k+3)+(2k+19)

Висновок із наведеної таблиці. Існують натуральні числа, починаючи  5, які не можна записати як суму двох взаємно простих натуральних доданків, якщо   використовувати одиницю, як доданок, заборонено. Наприклад: 6=3+3=2+4=1+5.
Скористаємося результатами попередньої таблиці і створимо таблицю для ДОДАВАННЯ ТРЬОХ ВЗАЄМНО ПРОСТИХ ВИРАЗІВ:
M=p+q+r
mod(p;q;r)=1
N+13
N+17
N+19
N+23
N+29
2N+4
3N+17
3N+21
3N+23
3N+27
3N+33
2N+5
3N+18
3N+22
3N+24
3N+28
3N+34
2N+6
3N+19
3N+23
3N+25
3N+29
3N+35
2N+7
3N+20
3N+24
3N+26
3N+30
3N+36
2N+8
3N+21
3N+25
3N+27
3N+31
3N+37
2N+9
3N+22
3N+26
3N+28
3N+32
3N+38
2N+10
3N+23
3N+27
3N+29
3N+33
3N+39
2N+12
3N+25
3N+29
3N+31
3N+35
3N+41
2N+13
3N+26
3N+30
3N+32
3N+36
3N+42
2N+14
3N+27
3N+31
3N+33
3N+37
3N+43
2N+16
3N+28
3N+33
3N+35
3N+39
3N+45
2N+18
3N+31
3N+35
3N+37
3N+41
3N+47
2N+22
3N+35
3N+39
3N+41
3N+45
3N+51

Висновок із наведеної останньої таблиці. Існують натуральні числа, починаючи  5, які не можна записати як суму трьох взаємно простих натуральних чисел, якщо одиницю використовувати заборонено. Наприклад: 9=1+3+5=2+3+4=3+3+3=2+2+5


Скористаємося результатами останньою таблиці для ДОДАВАННЯ ЧОТИРЬОХ ВЗАЄМНО ПРОСТИХ ВИРАЗІВ:
M=p+q+r+t
mod(p;q;r;t)=1
N+31
N+37
N+41
N+43
N+47
3N+17
4N+48
4N+54
4N+58
4N+60
4N+64
3N+18
4N+49
4N+55
4N+59
4N+61
4N+65
3N+19
4N+50
4N+56
4N+60
4N+62
4N+66
3N+20
4N+51
4N+57
4N+61
4N+63
4N+67
3N+21
4N+52
4N+58
4N+62
4N+64
4N+68
3N+22
4N+53
4N+59
4N+63
4N+65
4N+69
3N+23
4N+54
4N+60
4N+64
4N+66
4N+70
3N+24
4N+55
4N+61
4N+65
4N+67
4N+71
3N+25
4N+56
4N+62
4N+66
4N+68
4N+72
3N+26
4N+57
4N+63
4N+67
4N+69
4N+73
3N+27
4N+58
4N+64
4N+68
4N+70
4N+74
3N+28
4N+59
4N+65
4N+69
4N+71
4N+75
3N+29
4N+60
4N+66
4N+70
4N+72
4N+76
3N+30
4N+61
4N+67
4N+71
4N+73
4N+77
3N+31
4N+62
4N+68
4N+72
4N+74
4N+78
3N+33
4N+64
4N+70
4N+74
4N+76
4N+80
3N+34
4N+65
4N+71
4N+75
4N+77
4N+81
3N+35
4N+66
4N+72
4N+76
4N+78
4N+82
3N+36
4N+67
4N+73
4N+77
4N+79
4N+83
3N+37
4N+68
4N+74
4N+78
4N+80
4N+84
3N+38
4N+69
4N+75
4N+79
4N+81
4N+85
3N+39
4N+70
4N+76
4N+80
4N+82
4N+86
3N+41
4N+72
4N+78
4N+81
4N+84
4N+88
3N+42
4N+73
4N+79
4N+82
4N+85
4N+89
3N+43
4N+74
4N+80
4N+84
4N+86
4N+90
3N+45
4N+76
4N+82
4N+86
4N+88
4N+92
3N+47
4N+78
4N+84
4N+88
4N+90
4N+94
3N+51
4N+82
4N+88
4N+92
4N+94
4N+98

Висновок із наведеної останньої таблиці. Існують натуральні числа, починаючи  5, які не можна записати як суму чотирьох взаємно простих натуральних чисел, якщо одиницю використовувати заборонено. Наприклад: 16=1+3+5+7=3+3+3+7=11+3+1+1=2+2+5+6=13+1+1+1

Скористаємося результатами останньою таблиці для ДОДАВАННЯ П'ЯТИ ВЗАЄМНО ПРОСТИХ ВИРАЗІВ:
M=p+q+r+t+s
mod(p;q;r;t;s)=1
N+53
N+59
N+61
N+67
N+71
4N+48
5N+ 101
5N+
5N+
5N+
5N+
4N+49
5N+
5N+
5N+
5N+
5N+
4N+50
5N+
5N+
5N+
5N+
5N+
4N+51
5N+
5N+
5N+
5N+
5N+
4N+52
5N+
5N+
5N+
5N+
5N+
4N+53
5N+
5N+
5N+
5N+
5N+
4N+54
5N+
5N+
5N+
5N+
5N+
4N+55
5N+
5N+
5N+
5N+
5N+
4N+56
5N+
5N+
5N+
5N+
5N+
4N+57
5N+
5N+
5N+
5N+
5N+
4N+58
5N+
5N+
5N+
5N+
5N+
4N+59
5N+
5N+
5N+
5N+
5N+
4N+60
5N+
5N+
5N+
5N+
5N+
4N+61
5N+
5N+
5N+
5N+
5N+
4N+62
5N+
5N+
5N+
5N+
5N+
4N+63
5N+
5N+
5N+
5N+
5N+
4N+64
5N+
5N+
5N+
5N+
5N+
4N+65
5N+
5N+
5N+
5N+
5N+
4N+66
5N+
5N+
5N+
5N+
5N+
4N+67
5N+
5N+
5N+
5N+
5N+
4N+68
5N+
5N+
5N+
5N+
5N+
4N+69
5N+
5N+
5N+
5N+
5N+
4N+70
5N+
5N+
5N+
5N+
5N+
4N+71
5N+
5N+
5N+
5N+
5N+
4N+72
5N+
5N+
5N+
5N+
5N+
4N+73
5N+
5N+
5N+
5N+
5N+
4N+74
5N+
5N+
5N+
5N+
5N+
……
…….
…….
…….
…….

4N+86
5N+
5N+
5N+
5N+
5N+

Висновок із наведеної останньої таблиці виконайте самостійно.


Опубліковано о 1 коментар:
Підписатися на: Дописи (Atom)