Завдання 3 із ЗНО-2015

                    

Завдання № 3 із ЗНО-2015

Дослідіть, яких значень для натуральних чисел а, b, c може набувати вираз:

N(a, b,c)=НСД(а²; b²)+ НСД(а ; bc)+ НСД(b; ac)+ НСД(c; ab).

( Тут НСД(х;у) означає найбільший спільний дільник  для чисел х та у).

Дослідження: Спочатку позначимо три числа: 

НСД(а; b)=k_ab,   НСД(а; c)=k_ac, НСД(b; c)=k_bc.

Використаємо відому властивість:

 НСД(x; yz)= НСД(x; y),  якщо НСД(х; z)=1.

Враховуючи, що існує три набори (а; b), (а; c), (c; b) і ці пари натуральних числа  можуть бути або взаємно простими, або не взаємно простими, розглянемо вісім випадків:

1) Якщо НСД(а; b)=1;   НСД(а; c)=1; НСД(c; b)=1, тоді

N(a, b,c)=НСД(а²; b²)+ НСД(а ; bc)+ НСД(b; ac)+ НСД(c; ab) = 1+1+1+1=4 – це мінімум функції.

2) Якщо НСД(а; b)>1;   НСД(а; c)=1; НСД(c; b)=1, тоді

N(a, b,c)=НСД(а²; b²)+ НСД(а ; bc)+ НСД(b; ac)+ НСД(c; ab) = (k_ab)²+ k_ab +1+1=(k_ab)²+ k_ab +2;

3) Якщо НСД(а; b)=1;   НСД(а; c)>1; НСД(c; b)=1, тоді

N(a, b,c)=НСД(а²; b²)+ НСД(а ; bc)+ НСД(b; ac)+ НСД(c; ab) = 1+ k_ac +1+ k_ac = 2k_ac +2;

4) Якщо НСД(а; b)=1;   НСД(а; c)=1; НСД(c; b)>1, тоді

N(a, b,c)=НСД(а²; b²)+ НСД(а ; bc)+ НСД(b; ac)+ НСД(c; ab) = 2k_bc +2;

5) Якщо НСД(а; b)=1;   НСД(а; c)>1; НСД(c; b)>1, тоді

N(a, b,c)=НСД(а²; b²)+ НСД(а ; bc)+ НСД(b; ac)+ НСД(c; ab) = 1+k_ac + k_cb + k_ack_cb;

6) Якщо НСД(а; b)>1;   НСД(а; c)>1; НСД(c; b)=1, тоді

N(a, b,c)=НСД(а²; b²)+ НСД(а ; bc)+ НСД(b; ac)+ НСД(c; ab) = = (k_ab)²+k_ack_ab+k_ab+k_ac;

7) Якщо НСД(а; b)>1;   НСД(а; c)=1; НСД(c; b)>1, тоді

N(a, b,c)=НСД(а²; b²)+ НСД(а ; bc)+ НСД(b; ac)+ НСД(c; ab) = (k_ab)²+ k_ab+k_cb×k_ac+k_bc;

8) Якщо НСД(а; b)>1;   НСД(а; c)>1; НСД(c; b)>1,  тоді

N(a, b,c)=НСД(а²; b²)+ НСД(а; bc)+ НСД(b; ac)+ НСД(c; ab) = (k_ab)²+ k_ab×k_ac + k_ab×k_bc + k_ac×k_bc